Méthode
Pour écrire correctement les rapports égaux, on peut suivre les étapes suivantes :

Sur la figure ci-contre, N ∈ (AC) et M ∈ (AB). De plus, (NM) // (CB). On peut utiliser le théorème de Thalès : • On commence par écrire les symboles de fractions et d’égalité : . • On place les points des parallèles dans le dernier rapport : . • On place le dernier point non encore utilisé (ici A) sur chaque rapport : .

• On distribue les lettres du dernier rapport en haut : .
• On distribue les lettres du dernier rapport en bas, de façons à ce que les trois lettres soient alignées (ici, A, N et C d’une part et A, M et B d’autre part sont alignés) : .

Remarque : Ce théorème permet de trouver des longueurs lorsqu’on a des droites parallèles.

– ABC et AMN sont deux triangles ;
– M ∈ (AB) ;
– N ∈ (AC).

Si , alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

Exemple On donne AC = 8 cm ; AN = 3 cm ; AB = 10 cm et AM = 4 cm. Démontrer que (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.Les droites (CN) et (MB) sont sécantes en A. On a : et . Donc . Par conséquence du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

Remarques
• Cette proposition permet de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.
• Dans cet exemple, pour montrer que deux droites ne sont parallèles, il suffit de vérifier que deux des rapports ne sont pas égaux.

À quoi ça sert ? Il permet de calculer des longueurs dans un triangle à condition d’avoir 2 droites parallèles. Il permet également de montrer que 2 droites sont parallèles.

RÉPONSES EXERCICES :

Exercice 1 :

Nous savons que d1 et d2 sont sécantes en A et que les points M et B appartiennent à d1 et sont distincts de A et les points N et C appartiennent à d2 et sont distincts de A.
Nous avons donc une configuration de Thalès.
Nous savons aussi que (MN) et (BC) sont parallèles. Nous pouvons donc appliquer le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC
En remplaçant AB, AN et AC par leurs valeurs cela nous donne :
– AM/14 = 6/10 nous pouvons faire le produit en croix
– AM = 14*6/10 = 14*0,6
AM = 8,4 cm

Exercice 2 :

Nous savons que d1 et d2 sont sécantes en A et que les points M et B appartiennent à d1 et sont distincts de A et les points N et C appartiennent à d2 et sont distincts de A. Nous avons donc une configuration de Thalès.

Nous savons aussi que d’1 et d’2 sont parallèles.

Pour calculer AM, nous pouvons donc appliquer le théorème de Thalès :
AM/AB=AN/AC
En remplaçant AB, AN et AC par leurs valeurs cela nous donne :
– AM/6 = 2/3 nous pouvons faire le produit en croix
– AM = 6*2/3 = 12/3
– AM = 4 cm
Pour calculer BC nous pouvons aussi appliquer le théorème de Thalès :
– AN/AC = MN/BC nous pouvons faire le produit en croix
– BC = MN*AC/AN
En remplaçant MN, AN et AC par leurs valeurs cela nous donne :
– BC = 1,5*3/2 = 4,5/2
BC = 2,25 cm

Exercice 3 :

– AM/AB = 51/68 = 3/4
– AN/AC = 39/52 = 3/4
– Donc AM/AB = AN/AC
En plus nous savons que

• les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A
• A, B et M d’une part et A, C et N d’autre part sont alignés dans le même ordre

Les conditions sont réunies pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit alors que que les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Questions flashs :

1/ À quoi sert le théorème de Thales ?

2/ Quelles sont les hypothèses à se poser pour trouver une longueur ?

3/ À quoi sert la réciproque du théorème de Thales ?

Réponses :

1/ A trouver une longueur

2/ Y-a t-il deux droites parallèles ? et Les points sont ils alignés?

3/A trouver si deux droites sont parallèles dans une configuration de Thales